Фамилия Мямшев — редкая и неочевидная с точки зрения корня. Если отбросить суффикс -ев, который в русских фамилиях указывает на принадлежность («чей?» — сын Мямша), остаётся основа Мямш-. В ней слышится что-то диалектное, возможно, звукоподражательное. Самая прямая версия: прозвище Мямша дали нерасторопному, медлительному человеку, который говорит невнятно, «мямлит». В русских говорах слово «мямля» как раз и означает вялого, нерешительного или косноязычного. Суффикс -ш- в прозвище — редкий, но встречающийся в народной речи: он мог придавать оттенок пренебрежения или просто служить для образования личного имени-прозвища (сравните: Гриша, Паша, но в основе прозвища — не имя, а качество).

Есть и менее очевидная версия, связанная с географией. В псковских и тверских говорах слово «мямша» фиксировали как название болотистой, топкой местности — возможно, от того же корня, что и «мямлить» в смысле «месить, вязнуть». Тогда прозвище мог получить человек, живший у такого болота, или переселенец оттуда. Фамилия Мямшев могла сложиться в северо-западных областях России, где диалектная лексика богата на подобные корни.

Встречаемость фамилии крайне низкая. Она не попала в массовые списки дворянских или купеческих родов, что указывает на крестьянское или мещанское происхождение. В метрических книгах XIX века Мямшевы изредка встречаются в Вологодской и Вятской губерниях — это регионы, где сохранялась архаичная лексика и где прозвища давали по внешним или поведенческим чертам без обиды, а скорее как отличительный знак. Мямшев — не переделанная форма церковного имени, а чисто русское бытовое прозвище, которое со временем закрепилось в фамилии.