Фамилия Наавгуст — редкий случай в русской ономастике. Она не вписывается в привычные модели образования от имени, прозвища или профессии. В её основе лежит не славянский корень, а латинское название восьмого месяца года — август (Augustus). Первая часть «Наа-» — это слитный предлог «на» с архаичным окончанием или искажённое «на-а-», что в целом указывает на происхождение фамилии из прозвища, данного по календарному событию.

Скорее всего, предок носителя фамилии получил прозвище Наавгуст (или На-Август) по дате рождения или крещения. В русской традиции могли назвать «Наавгуст» ребёнка, родившегося в августе, или того, кто был крещён в день памяти святого Августа (например, блаженного Августина). Подобные «календарные» фамилии встречаются, но обычно они образуются от названий месяцев без предлога: Августов, Сентябрёв. Вариант с предлогом «на» уникален — он мог возникнуть в среде, где прозвище закреплялось как указание на время («рождённый на август»), а затем фамилия застыла в такой форме.

Словообразовательная модель здесь нестандартна. Суффиксы -ов или -ин отсутствуют, что говорит о возможном позднем оформлении фамилии или о её искусственном происхождении (например, в семинарской среде, где фамилии давали по церковным праздникам). Однако «семинарская» гипотеза слаба: в духовных училищах обычно образовывали фамилии на -ский (Августовский) или латинизированные (Августинов). Наавгуст — скорее бытовое прозвище, записанное в документах без изменений.

Географически фамилия почти не встречается. В современных базах данных её носители единичны, и основная масса, вероятно, сосредоточена в южнорусских или украинских регионах, где диалекты допускали стяжение предлогов (ср. фамилии типа Набоков, Назаров, где «на-» входит в основу). Если у вас есть предки с такой фамилией, ищите их в метрических книгах конца XIX века — скорее всего, они были крестьянами или мещанами, а само прозвище закрепилось в одной конкретной семье, не распространившись широко.