Фамилия Наберёнков — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а глагольная форма, застывшая в прозвище. Её ядро — «наберён», то есть «набран», от древнерусского «брати» (современное «брать»). Суффикс -ёнк- в сочетании с -ов указывает на украинское или белорусское происхождение предка: в этих землях распространена модель «прозвище + -енко», а при переходе в великорусскую среду фамилия могла обрусеть, получив окончание -ов вместо -о. То есть первоначальная форма — Наберенко, а Наберёнков — её русифицированный вариант.

Прозвище Наберён, скорее всего, давали человеку за характерную черту — склонность «набирать»: либо собирать долги, либо попрошайничать, либо копить имущество. В говорах слово «набрать» имело и оттенок «накопить, присвоить», так что прозвище могло относиться к расчётливому хозяйственному мужику, а не обязательно к побирушке. Есть и более узкая версия: в некоторых диалектах «наберённый» означало «приёмыш, взятый в дом» — так могли назвать усыновлённого ребёнка или зятя, принятого в дом.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и западнорусским областям — Брянщине, Смоленщине, Курщине, где смешивались русские, украинские и белорусские модели фамилий. Встречается она редко, и в дореволюционных списках не отмечена среди дворянских или купеческих родов — скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая не раньше XVII–XVIII веков, когда прозвища начали закрепляться за потомками.

Интересная деталь: написание через «ё» не случайно. Ударение в фамилии падает на третий слог — Наберёнков, и буква «ё» исторически отражает звук, который в безударной позиции мог бы редуцироваться до «е». Если бы фамилия писалась как Наберенков (с «е»), ударение сместилось бы на второй слог, и смысловая связь с глаголом «набрать» стала бы менее очевидной. Так что «ё» здесь — не просто орфографический каприз, а ключ к произношению и происхождению.