Фамилия Нарыги встречается нечасто, и её происхождение — неочевидная задача даже для специалиста. С первого взгляда напрашивается связь с прилагательным «нагой» (голый), однако суффикс -ыг- в русской антропонимии почти не встречается. Это заставляет искать другой корень.

Самая вероятная версия отсылает к диалектному слову «нарыга», которое в рязанских и тамбовских говорах означало «упрямец», «своенравный человек». В словаре Даля зафиксирован глагол «нарыгаться» — «упрямиться, капризничать». Таким образом, прозвище Нарыга получал человек с тяжёлым, неуступчивым характером. Фамилия образована по простой модели: прозвище на -а плюс типичный русский фамильный суффикс -ин, указывающий на принадлежность роду этого человека (чей? — Нарыгин сын). Со временем окончание стянулось, и в документах закрепилась форма Нарыгин, а в просторечии или при небрежной записи — Нарыги.

Вторая гипотеза, менее убедительная, связывает фамилию с тюркским корнем «нар» (верблюд) или «нары» (носилки). Но для этого пришлось бы допустить, что суффикс -ыг- тюркского происхождения, что маловероятно для фамилии, распространённой в центральной России. География бытования фамилии Нарыги (и её варианта Нарыгин) — преимущественно Рязанская, Тамбовская и Нижегородская области, что совпадает с ареалом диалектного слова «нарыга».

С точки зрения социальной истории, носители фамилии Нарыги в XIX веке чаще всего были государственными крестьянами, реже — однодворцами. Фамилия не дворянская и не купеческая, что подтверждается её отсутствием в родословных книгах. Встречаются также варианты написания с одной «г» — Нарыгин, но форма без суффикса -ин встречается реже и, вероятно, является результатом упрощения в устной речи или при переписи.