Фамилия Натяглый — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, сохранив свою первоначальную глагольную основу. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, образованных суффиксами -ов/-ев или -ин, Натяглый застыло в форме полного прилагательного. Это характерно для южнорусских и украинских земель, где фамилии на -ый, -ий встречаются гораздо чаще, чем в северных и центральных регионах.

Значение фамилии прозрачно: в её основе глагол «натягать» или «натянуть». В народной речи так могли назвать человека с характерной манерой поведения — того, кто «тянет» время, медлителен и нерасторопен. Однако есть и вторая, более конкретная версия, связанная с ремеслом. В говорах «натяглый» — это тот, кто натягивает что-либо: кожу на обруч при изготовлении барабанов или бубнов, холст на подрамник, нити на ткацком станке. Прозвище могло закрепиться за шорником, бондарем или ткачом.

Словообразовательная модель здесь архаична. Суффикс -л- в прилагательных обычно указывает на активное действие или состояние: «усталый», «беглый», «умелый». Натяглый — буквально «натянувшийся», «напряжённый», но в переносном смысле — «настойчивый», «упёртый». В ономастических справочниках эта фамилия не упоминается — она редкая, не попала ни в словарь Унбегауна, ни в своды Веселовского. Скорее всего, возникла в одной местности и не получила широкого распространения.

Сравните с однокоренными фамилиями: Натягай, Натягайло, Натяглов. Последняя — более типичная по форме, с суффиксом -ов. Натяглый же стоит особняком: это не «сын Натяглого», а сам Натяглый, что говорит о позднем закреплении прозвища в качестве фамилии, возможно уже в XVIII–XIX веках, когда патронимические суффиксы стали необязательны.

Если ваши предки носили фамилию Натяглый, скорее всего, они происходили из южных губерний России или с территории современной Украины. Сословная принадлежность — вероятнее всего, крестьяне или ремесленники. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.