Фамилия Натягина — женская форма, мужской вариант Натягин. В основе лежит глагол «натягивать». Это одна из тех фамилий, где прозвище человека, скорее всего, связано не с характером или внешностью, а с конкретным ремеслом или бытовой ситуацией. Самый прямой смысл: «натягивающий» — тот, кто натягивает что-то, будь то кожа на обувную колодку (сапожник), струны на музыкальный инструмент, холст на подрамник (иконописец или маляр) или даже лук перед стрельбой. Однако в крестьянском быту прозвище Натяга, Натягин могло закрепиться за человеком, который «натягивал» что-то в переносном смысле — например, тянул с ответом, медлил, или, наоборот, был требовательным и «натягивал» дисциплину.

Словообразовательная модель проста: к основе глагола «натяг-» (от «натягивать») добавился суффикс -ин, указывающий на принадлежность. В русской ономастике это одна из самых частых моделей: Иванов — сын Ивана, Натягин — сын (или потомок) Натяги. То есть фамилия отчественная, но не от крестильного имени, а от прозвища.

Интересная деталь: фамилия Натягин встречается в разных регионах, но заметно чаще — в Поволжье и на Урале. В словарях русских фамилий (например, у В. А. Никонова) нет отдельной статьи про Натягина, но по аналогии с фамилиями того же гнезда (Тягин, Потягин) можно предположить, что прозвище могло возникнуть в среде мастеровых людей или среди крестьян, занятых отхожим промыслом. В XIX веке в Пермской и Вятской губерниях фиксируются крестьяне с фамилией Натягин — это подтверждает ремесленный или прозвищный корень без связи с дворянским сословием.

Есть и более редкая версия: фамилия могла возникнуть от топонима — деревни Натягино, Натяги. Такие названия встречаются в Тверской и Костромской областях. В этом случае фамилия указывает на выходца из конкретного места. Но первая версия — от прозвища по действию — выглядит убедительнее, потому что глагольная основа «натяг-» активно использовалась в живой речи, а топонимы с таким корнем редки.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Натягин, с большой вероятностью они были ремесленниками, мастерами, имевшими дело с натяжкой чего-либо, или просто получили прозвище за манеру поведения. Фамилия не знатная, не книжная, а самая что ни на есть рабочая, с живым русским корнем.