Фамилия Натягаев на первый взгляд кажется прозрачной по смыслу, но при ближайшем рассмотрении её корень оказывается не таким однозначным. В основе лежит глагол «натягать» — в русских говорах он означал «натягивать», «напрягать», а в переносном смысле — «долго и нудно делать одно и то же» или «настойчиво добиваться своего». Прозвище Натягай могли дать человеку медлительному и упрямому, который «тянул резину», либо, наоборот, тому, кто был силён и мог натянуть тетиву лука или упряжь.

Словообразовательная модель типична для южнорусских и украинских фамилий: суффикс -аев указывает на то, что прозвище было образовано от глагольной основы повелительного наклонения (Натягай → Натягаев). Такая модель характерна для фамилий, возникших в среде казачества и крестьянства Черноземья, где прозвища часто давались по действию или характеру. В отличие, например, от фамилий на -ов, которые чаще образовывались от отчеств, здесь мы видим прямое прозвище, превращённое в фамилию.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с ремеслом. В некоторых говорах «натягай» — мастер, который натягивал холст на ткацкий станок или кожу на обувную колодку. Тогда предок был не просто человеком с упрямым нравом, а конкретным ремесленником. Однако эта версия уступает первой по распространённости: в исторических документах прозвища на -яй, обозначающие свойство характера, встречаются гораздо чаще, чем профессиональные.

Географически фамилия тяготеет к югу России — Ростовской, Волгоградской областям и Краснодарскому краю, а также к востоку Украины. Это подтверждает её казачье-крестьянское происхождение: в этих регионах глагольные прозвища активно переходили в фамилии даже в XIX веке, когда на севере уже давно закрепились патронимические формы. Натягаевы — не дворянский род, а потомки вольных поселенцев или однодворцев, чья фамилия сохранила живую разговорную речь своих предков.