Фамилия Натягов — редкий случай, когда прозвище, скорее всего, возникло из глагольной формы, а не из названия профессии или имени. В её основе лежит глагол «натягать» или «натягивать». В старых говорах «натягать» означало «натянуть», «напрячь», а в переносном смысле — «насильно заставить», «принудить» или, наоборот, «настойчиво добиваться своего». Человек, получивший такое прозвище, мог быть упрямым, настырным, тем, кто «тянет лямку» до конца или, напротив, тем, кто постоянно спорит и «тянет» на себя одеяло.

Модель образования типична для русских фамилий: к основе на твёрдый согласный добавили суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Натяга). То есть Натягов — «потомок Натяга». Суффикс -ов самый распространённый в центральной и северной России, поэтому географическая привязка фамилии может быть широкой, но с тяготением к регионам, где бытовала соответствующая диалектная лексика.

Есть и другая, менее очевидная версия: связь с ремеслом. В некоторых промыслах «натягом» называли мастера, который натягивал кожу на обувную колодку, холст на пяльцы или струны на музыкальный инструмент. Однако в этом случае фамилия обычно образовывалась бы от названия занятия — Натягальщиков или Натяжников. Форма «Натягов» указывает именно на личное прозвище, а не на профессиональное имя.

В дореволюционных метрических книгах фамилия встречается спорадически, в основном в поволжских и южнорусских губерниях. Сравните с однокоренными фамилиями: Натяжкин (от уменьшительной формы), Натягай (украинский вариант) или Натяглов (с суффиксом -л-). Натягов стоит особняком — она короче и грубее, что выдаёт её прозвищное, а не «кабинетное» происхождение. Носитель такой фамилии, скорее всего, происходил из крестьянской или ремесленной среды, где прозвище давали по характеру или манере поведения.