Фамилия Назолкин — относительно редкая, и её значение напрямую связано с внутренним состоянием человека. В основе лежит древнерусское слово «назолка», которое означало «досада», «огорчение», «кручина» или «тоска». В говорах «назола» — это ещё и беспокойство, докука, назойливость. Соответственно, Назолкой или Назолой в старину могли прозвать человека, который постоянно причинял хлопоты, досаждал другим, либо, напротив, того, кто сам был вечно печален и угрюм. Прозвище давалось не как оскорбление, а как бытовая характеристика — в деревнях меткие слова прилипали быстро и навсегда.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Назолкин — это «сын Назолки» или «человек из семьи Назолки». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а, -я. Фамилия не дворянская и не духовная — она крестьянская или посадская, возникла в среде, где прозвище было вторым именем. Встречается она преимущественно в центральных и поволжских регионах России, особенно в Нижегородской и Костромской областях, где слово «назола» фиксируется диалектными словарями.

Интересно, что у фамилии есть «зеркальная» пара — Назолкин и Назолов. Вторая форма, с суффиксом -ов, могла возникнуть от той же основы, но по другой модели (как Иванов от Иван). Однако фамилия Назолкин встречается чаще, что говорит о более широком бытовании прозвища именно в «акающей» форме. Спорных версий здесь немного: иногда корень пытаются связать с «золой» или «золотом», но это лингвистически слабо — ударение в исходном слове падает на второй слог (назо́ла), а не на первый.

Если ваши предки носили фамилию Назолкин, они, скорее всего, были крестьянами или ремесленниками из северо-восточных губерний России. Прозвище могло достаться родоначальнику за беспокойный нрав или за привычку ходить с «назолой на сердце» — в народной речи это означало быть в постоянной заботе.