Фамилия Немейксис — редкий случай в русском ономастиконе, который почти наверняка имеет не славянское, а балтийское или, точнее, литовское происхождение. Её основа — литовское личное имя или прозвище, а окончание на -ис (в исходной форме Nemeikis) выдаёт в ней типичную литовскую фамилию мужского рода, русифицированную через добавление окончания -с.

Разбираем словообразовательную модель. Корень фамилии восходит к литовскому глаголu «mèikti» (мягчать, размягчать, делать мягким) или прилагательному «mìekas» (мягкий, нежный, слабый). В литовской антропонимике распространены прозвища, образованные от черт характера или физических качеств. Соответственно, Nemeikis — это человек, которого прозвали «немягким», «неласковым», «жёстким» или «упрямым». Отрицательная частица ne- (не-) меняет значение на противоположное: не мягкий, а твёрдый, суровый. Такую фамилию могли дать человеку с тяжёлым нравом, несговорчивому, либо, наоборот, в ироничном ключе — тому, кто пытался казаться строгим, но таковым не был.

Географически фамилия тяготеет к западу современной России и Беларуси — к территориям, исторически входившим в состав Великого княжества Литовского. В метрических книгах и ревизских сказках XIX века такие фамилии на -ис встречаются в Ковенской, Виленской и Гродненской губерниях. При переходе в русскоязычную среду окончание -ис часто превращалось в -исс или -ис, а ударение смещалось на последний слог, что и дало форму Немейксис.

С точки зрения социального контекста, носители такой фамилии в XIX веке относились к крестьянскому или мещанскому сословию. Дворянские роды с подобной основой в гербовниках не зафиксированы. Фамилия не получила широкого распространения и осталась локальной, что делает её особенно ценной для генеалогического поиска: круг возможных предков сужается до конкретного региона и даже прихода.

Интересная деталь: в литовском языке существует фамилия Nemeikis (Нямейкис) с ударением на второй слог, а в русском написании она часто искажалась — встречаются варианты Немейкис, Немейкис, Немейкс. Ваш вариант Немейксис, вероятно, возник при записи на слух, когда писарь добавил лишнюю букву «с» для благозвучия или под влиянием греческих фамилий на -ксис, которые в Российской империи встречались у духовенства. Однако родство именно с литовским корнем здесь не вызывает сомнений.