Фамилия Нежывой — один из тех редких случаев, когда написание прямо указывает на южное или западнорусское происхождение. Форма с буквой «ы» в корне (Нежывой, а не Неживой) — это не опечатка и не вариант, а диалектная или историческая черта. В украинском, белорусском и некоторых южнорусских говорах после шипящих и ц в ударном положении писали и произносили «ы» там, где в литературном русском закрепилось «и». Так что фамилия Нежывой — почти стопроцентный маркер того, что предки жили на территории современной Украины, Беларуси или в приграничных областях России (Брянщина, Курщина).

По модели образования это типичная «украинская» фамилия на -ой. В русском языке прилагательные в именительном падеже мужского рода имеют окончание -ый (Неживый), а в украинском — -ий (Неживий). Форма Нежывой — это что-то среднее, «гибридное»: украинский корень с русским окончанием. Такое часто встречалось в документах XVII–XVIII веков, когда писарь, записывая прозвище, мог смешивать языковые нормы.

Смысловая основа ясна: «неживой» — мёртвый, безжизненный. Но вряд ли предка так назвали из-за смерти. Скорее, это прозвище давали человеку с бледным, болезненным цветом лица, вялым характером или медлительностью. В народе могли сказать: «ходит как неживой». В некоторых говорах «неживой» означало также «некрепкий, хилый». Другой вариант — прозвище давали тому, кто выжил после тяжёлой болезни или чудесным образом спасся, то есть «вернулся с того света». В этом случае фамилия могла иметь обережный, охранительный смысл: назвали Неживым, чтобы злые силы думали, что человек уже мёртв, и не трогали его.

В словарях фамилия не фиксировалась массово — это редкая форма. Ближайшие аналоги: Неживой, Неживец, Неживов. Если ваш предок носил фамилию Нежывой, скорее всего, он происходил из казацкой или крестьянской среды Левобережной Украины или Слобожанщины, где такие прозвища были обычным делом.