Фамилия Ногадрищёв — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка было шутливым или ироничным. Разберём её по частям.

Корень здесь — не «нога», а более сложное образование. Скорее всего, основа — «ногадрищ-», где «-др-» может быть вставкой, усложняющей звучание. Первая часть, «нога», очевидна. Вторая часть восходит к глаголу «дрить» или «дрять» — в диалектах (особенно северных и сибирских) это означало «смотреть», «глядеть», «зорко высматривать». Отсюда же «дрозд» (птица с острым зрением) и «дрыхнуть» (в исходном смысле — «закрывать глаза»). Таким образом, «ногадрищ» — человек, который «ногой смотрит», то есть неловкий, неуклюжий, как бы видящий не глазами, а ступнями. Суффикс «-ищ-» имеет увеличительное или пренебрежительное значение, усиливая насмешку: не просто неловкий, а прямо-таки «ногадрище».

Фамилия образована по стандартной модели «-ев» (после шипящего и «щ» пишется «-ев»). Это типичный пример прозвищной фамилии, которая закрепилась за родоначальником в XV–XVII веках. Такие прозвища давали не в обиду, а для меткой характеристики: Ногадрищем могли окрестить долговязого подростка, путающегося в собственных ногах, или человека с тяжёлой, шаркающей походкой.

Географически фамилия тяготеет к северным говорам (Архангельская, Вологодская области) и к Сибири, куда переселенцы принесли свои диалектные слова. Встречаемость крайне низкая — это штучная, «кабинетная» фамилия, не размноженная массовым крестьянским родством. В официальных документах могла записываться с ошибками: Ногодрищев, Ногадрыщев, Ногатрищев, что затрудняет поиск предков. Единственный способ проверить версию — найти ранние записи в метрических книгах тех губерний, где слово «дрить» было в ходу.

Если ваши предки — Ногадрищёвы, то, скорее всего, они происходят из среды северных крестьян или промысловиков, а сам прозвищный предок был человеком заметным — пусть и неловким, но запомнившимся односельчанам.