Фамилия Нормальный — яркий пример того, как русская фамилия может быть образована от слова с совершенно нефамильным значением. В отличие от большинства «профессиональных» или «патронимических» фамилий, эта возникла из прозвища, данного человеку по его характеру или образу жизни.

Основа здесь — прилагательное «нормальный» в значении «правильный, соответствующий норме, обычный». Прозвище Нормальный могли дать человеку уравновешенному, предсказуемому, не склонному к выходкам и чудачествам. В крестьянской среде, где ценились трудолюбие и предсказуемость, такое прозвище могло быть скорее одобрительным, чем нейтральным. Модель образования проста: к основе прилагательного добавился типичный русский суффикс -ый, который в данном случае играет роль окончания, а сама фамилия застыла в форме именительного падежа мужского рода.

Интересно, что фамилия Нормальный — редкая и поздняя. Массово такие «качественные» фамилии (от прилагательных, описывающих человека) появлялись в России в XIX — начале XX века, когда крестьянам давали фамилии «с натуры», по заметной черте. Слово «нормальный» вошло в широкий обиход ещё позже, в советское время, поэтому фамилия могла возникнуть и в XX веке как «кабинетная» или искусственная — например, при записи в паспортном столе. Встречается она преимущественно на юге России и Украине, где фамилии на -ый (а не на -ий) более характерны для украинской ономастики.

Сравните с однокоренными фамилиями Нормов, Нормин — они образованы от той же основы, но через патронимические суффиксы -ов и -ин, что говорит о более раннем происхождении. Нормальный же стоит особняком: его форма указывает на прямое прозвище, а не на отчество. Если у вас эта фамилия, ваши предки, скорее всего, были крестьянами или мещанами, получившими фамилию за спокойный нрав — или, напротив, с иронией за излишнюю правильность.