Фамилия Норвайша — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы разобраться, нужно отталкиваться от самого яркого элемента — финального сочетания -айша. В русских фамилиях такой суффикс не встречается: нет типичного -ов, -ев, -ин или -ский. Это прямой указатель на иноязычную основу, скорее всего, тюркскую или финно-угорскую.

Самая вероятная версия связывает фамилию с литовским или жемайтским корнем. В Литве есть фамилия Norvaiša (Норвайша), которая образована от двухосновного имени: nor- (от norėti — «хотеть, желать») и vaiš- (от vaišinti — «угощать, потчевать»). Таким образом, Норвайша — это «тот, кто желает угощать» или «охотно принимающий гостей». Фамилия типична для северо-западных регионов бывшей Российской империи — современной Литвы, Латгалии и бывшей Виленской губернии. В русскую среду она попала через письменную фиксацию: литовское Norvaiša при записи в метрики или ревизские сказки получило русское окончание -а, и фамилия закрепилась в мужском роде как Норвайша (склоняется: Норвайши, Норвайше и т.д.).

Менее убедительна, но возможна версия от тюркского нор (араб. «свет, сияние») и вайш (искажённое «вайшья» — название одной из каст в индуизме, но для тюркских языков это нетипично). Эта гипотеза слабая, так как смешение арабского корня с индийским сословным термином маловероятно в бытовой среде, где фамилии складывались.

Носители фамилии Норвайша — почти всегда потомки литовских или белорусских крестьян и мелкой шляхты. В XIX веке многие литовцы переселялись в Сибирь и на Урал, так что встретить Норвайшу можно не только на западе, но и в Омской, Томской областях или в Красноярском крае. Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог: Норва́йша.