Фамилия Новоайдарсреккий — настолько редкий случай, что её написание почти наверняка содержит опечатку. В русской ономастике не зафиксировано фамилии с таким сочетанием букв «срек». С высокой вероятностью правильная форма — Новоайдарский, реже Новоайдарский-Среккий, если перед нами двойная фамилия, где вторая часть происходит от географического названия или прозвища.

Если всё же исходить из того, что перед нами именно Новоайдарсреккий, то разбор показывает топонимическую основу. Первая часть — «Новоайдар» — отсылает к посёлку городского типа Новоайдар в Луганской области (Украина). Такие фамилии образовывали от названия места жительства: «новоайдарский» значило «родом из Новоайдара». Суффикс -ск- типичен для фамилий дворянского или казачьего происхождения, указывающих на владение землёй или приписку к местности. Вторая часть «среккий» — тёмная: возможно, искажённое «срецкий» (от «сретение» — церковный праздник) или диалектное прозвище. Но более реалистично, что это ошибка переписчика или опечатка в исходном документе.

Таким образом, предок носителя фамилии мог происходить из Новоайдара — скорее всего, из казачьей или крестьянской среды, получив фамилию по месту службы или жительства. Встретить фамилию Новоайдарсреккий в современных справочниках почти невозможно: она либо утрачена при унификации написания, либо существовала в единичных записях метрических книг XIX века. Если вы ищете именно эту форму, стоит проверить архивные документы — там могла закрепиться описка писаря.