Фамилия Обожда — редкий случай, когда прозвище застыло в форме повелительного наклонения глагола. В основе лежит глагол «обождать» — то есть подождать, потерпеть. Такие «императивные» фамилии (типа Терпи, Жди, Держи) обычно давали не самому человеку, а его отцу или деду, который часто повторял это слово. Скорее всего, предок носителя фамилии был человеком неторопливым, терпеливым, либо, наоборот, его так дразнили за привычку заставлять других ждать.

Исходное прозвище Обожда не получило типичных русских фамильных суффиксов -ов, -ин или -ский. Это указывает на то, что фамилия могла закрепиться в форме чистого прозвища в тех регионах, где подобные бессуффиксные фамилии встречаются чаще — например, на Украине, в Белоруссии или на юге России. Там фамилии типа Обожда, Непейвода, Покусай не редкость.

Слово «обождать» происходит от древнерусского «ждати» с приставкой «об-», означающей завершённость действия. В говорах могло быть и ударение на последний слог — Обождá. В церковной среде такое прозвище могло прикрепиться к человеку, который долго ждал какого-то события (например, возвращения из похода), или к терпеливому прихожанину.

Встречаемость фамилии очень низкая. Если вы носитель этой фамилии, то, скорее всего, ваши предки происходят из западнорусских или украинских земель, где императивные фамилии были в ходу. Никакого отношения к «обожению» или церковным терминам фамилия не имеет — это бытовое, житейское прозвище, которое со временем стало родовым именем.