Фамилия Пачемский — редкий случай, когда географическое происхождение практически не вызывает споров, но вот с корнем всё не так однозначно. Формально это типичная «географическая» фамилия на -ский, которая указывает на связь человека с местностью. В русской ономастике суффикс -ский чаще всего получали дворяне по названию своего поместья, но в XIX веке такую модель массово переняли и крестьяне, особенно выходцы из западных губерний и духовенство (семинаристы). Поэтому Пачемский мог быть как потомственным помещиком, так и сыном священника, которому дали фамилию по селу или погосту.

Ключ к разгадке — топоним «Пачема» или «Пачемка». Такие названия встречаются в нескольких регионах, но самый вероятный кандидат — село Пачема в Ярославской области (ныне Пошехонский район) и одноимённая речка. Название реки, скорее всего, финно-угорского происхождения: основа «пач» (сравните с вепсским или коми-зырянскими корнями, означающими «глухой», «лесной») и суффикс -ма (типичный для гидронимов Севера: Кокшеньга, Шексна, Пачема). То есть Пачема — это «лесная река» или «река в глухой чаще». Соответственно, Пачемский — это выходец с этой реки или из этого села.

Менее вероятная, но не исключённая версия — искусственная фамилия в духовных училищах. Семинаристам иногда давали фамилии по названиям праздников, церквей или по «красивым» латинизированным корням. Пачемский мог быть образован от греческого «пахос» (толщина, массивность) — но это натяжка, прямых аналогов в семинарском словообразовании нет. Гораздо проще объяснить фамилию местом жительства: в метрических книгах Ярославской губернии за XVIII–XIX века действительно встречаются крестьяне и священники Пачемские, приписанные к приходам на реке Пачеме.

Обратите внимание на ударение: в фамилии оно почти всегда падает на второй слог — Паче́мский. В названии реки ударение плавающее, но в фамилии закрепился вариант с ударной «е», что тоже типично для фамилий от гидронимов (сравните: Онежский, Иртышский). Сейчас фамилия встречается редко, сосредоточена в основном в Ярославской, Вологодской и Костромской областях — то есть на той же территории, где протекает Пачема.

Если резюмировать: Пачемский — это человек, чьи предки жили на реке или в селе с финно-угорским названием «Пачема». Никакой сложной истории с прозвищами или профессиями здесь нет, зато есть чёткая привязка к конкретному уголку Русского Севера.