Фамилия Парчайкина — женская форма, мужская — Парчайкин. В основе лежит прозвище или нецерковное имя, и ключ к разгадке — в суффиксе -айк-. В русской ономастике суффиксы -ай, -ак, -айк часто указывают на ласкательное или уменьшительное образование от личного имени. Скорее всего, Парчай — это производное от имени Парфён (Парфений) или Панкрат (Панкратий). В разговорной речи такие имена стягивались: Парфён → Парша → Парчай; Панкрат → Паня → Панчай. Суффикс -айк- давал окончательную форму прозвища, закрепившуюся в фамилии.

Есть и другая версия, менее вероятная, но не лишённая оснований. В южнорусских и украинских говорах слово «парча» могло означать не только дорогую ткань, но и нечто пёстрое, рябое, а иногда — человека с пёстрой, неряшливой одеждой. Однако суффикс -айк- для прозвищ от нарицательных существительных нехарактерен: от «парча» скорее образовали бы Парчи́н или Парчо́в. Поэтому антропонимическая модель (от имени) выглядит убедительнее.

Географически фамилия редкая. Основные очаги бытования — Поволжье и центральные области России. Встречается также у мордвы-эрзи, где могла возникнуть независимо, от местного имени с основой «парч» (в эрзянском языке «парця» — «сума», «мешок»), но это уже отдельная гипотеза, требующая проверки по конкретным переписям.

Сословно Парчайкины, скорее всего, были крестьянами или мещанами. Фамилии на -айкин типичны для непривилегированных слоёв: они фиксировали обиходное, домашнее прозвище, а не книжное имя. Если сравнивать с однокоренными — Парфёнов, Паршин, Пархаев, — то Парчайкин стоит особняком: он сохранил редкую уменьшительную форму, которая не перешла в массовые фамилии.

Таким образом, если вы ищете корни Парчайкиных, стоит смотреть в сторону личных имён Парфён или Панкрат, а в качестве региона для поиска — среднерусские губернии с активным суффиксальным словообразованием прозвищ.