Фамилия Пармухина — женская форма фамилии Пармухин, и чтобы понять её происхождение, нужно разобрать мужской вариант. Перед нами редкая модель с суффиксом -ин, который в русских фамилиях обычно указывает на принадлежность: «чей?» — «Пармухин», то есть сын или потомок человека по прозвищу Пармуха.

Корень фамилии — Пармух- — неочевиден. Самая правдоподобная версия связывает его с диалектным словом «пармуха» или «парма». В северных русских говорах, особенно в архангельских и вологодских, «парма» — это тайга, глухой хвойный лес на возвышенности, а также туман, мгла. Слово финно-угорского происхождения (ср. коми «парма» — таёжный лес). Тогда Пармухой могли прозвать человека, жившего в глухой лесной местности, «лесовика», либо того, кто отличался угрюмым, «туманным» нравом.

Менее вероятна, но возможна связь с личным именем Пармен (разговорная форма — Парма). В таком случае Пармуха — это уменьшительно-пренебрежительная форма от Пармен, а фамилия означает «потомок Пармы». Однако суффикс -ух- в русских прозвищах чаще встречается именно в нарицательной лексике (грязнуха, толстуха, крикуха), чем в производных от крестильных имён, поэтому версия с лесным прозвищем надёжнее.

Географически фамилия Пармухины тяготеет к Русскому Северу и Уралу — областям, где слово «парма» было в ходу. Встречается она нечасто, что подтверждает её локальное, диалектное происхождение. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или охотниками из северных губерний, а прозвище получили по месту жительства — в глухой таёжной парме.