Фамилия Парюшкин образована по одной из самых распространённых в русской ономастике моделей: от имени или прозвища с помощью суффикса -ин, указывающего на принадлежность («чей?» — сын Парюшки). Основа здесь — Парюшка, уменьшительная форма от крестильного имени Парфений. В быту греческое имя Парфений (от «парфенос» — девственник, чистый) переделали в Парфён, а от него пошли ласкательные варианты: Паря, Парюня, Парюша, Парюшка. Суффикс -юшк- в русских именах передавал нежность и принадлежность к младшему поколению, поэтому Парюшка — это скорее всего младший сын, внук или подросток в семье.

Версия с прозвищем менее вероятна, но не исключена. В северных говорах «парюшка» могло означать что-то парное, горячее или относиться к бане — человек, который любил париться, истопник. Однако для прозвища форма с уменьшительным суффиксом нехарактерна: обычно прозвища звучат грубее (Парень, Паря). Поэтому основная гипотеза — от имени Парфений через форму Парюшка.

Географически фамилия Парюшкин редкая, встречается точечно в центральных областях России и на Вятке. В дореволюционных переписях носители чаще всего числились крестьянами или мещанами — сословная принадлежность типична для фамилий на -ин, которые в массе своей закрепились за простыми людьми в XVI–XVII веках.

Любопытная деталь: фамилия Парюшкин стоит в одном ряду с однокоренными Парфёнов, Паршин, Парютин. Все они восходят к одному имени Парфений, но разошлись по разным суффиксам. Парюшкин — один из самых редких вариантов, сохранивший архаичную уменьшительную форму, которая в живой речи почти исчезла. Если ваш предок звался Парюшка, то он, скорее всего, был младшим в роду или его так ласково называли домашние — и это прозвище закрепилось за всем потомством.