Фамилия Перемежко — яркий пример того, как украинское словообразовательное гнездо дало редкую и запоминающуюся фамилию. Её основа — глагол «перемежати» (чередовать, перемежать, делать с перерывами). В украинском языке это слово живо и сейчас: «перемежка» означает перерыв, промежуток, паузу. Соответственно, прозвище Перемежко мог получить человек, который работал или говорил с перерывами, делал что-то рывками, или же тот, кто жил в каком-то ритме — например, работал не постоянно, а наездами.

Суффикс -к- (в форме -ко) — типичный уменьшительно-ласкательный или принадлежный для украинских фамилий. Он часто превращал прозвище в фамилию, означая «сын того, кого так звали» или просто «маленький Перемежа». Подобная модель дала множество фамилий на -енко, -ук, -юк, но -ко встречается реже и обычно в более старых или западноукраинских формах. Перемежко — не «сын попа» и не «сын кузнеца», а скорее «сын того, кого прозвали Перемежкой».

Интересно, что фамилия практически не имеет географического разброса. Она встречается почти исключительно на западе Украины — в Тернопольской, Ивано-Франковской, Львовской областях. Это говорит о том, что фамилия возникла в одной местной среде и не распространилась широко, оставаясь локальной. В России или Беларуси она — большая редкость.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Перемежко, Перемежкин, Перемежников) показывает, что основа «перемеж-» не дала большого числа фамилий. Это не «Иванов» или «Кузнецов», а штучный товар. В словаре Веселовского или Унбегауна фамилии на такую основу не фигурируют — она явно поздняя и бытовая, не из боярских или дворянских родов.

Таким образом, Перемежко — это украинская фамилия-прозвище, образованная от слова «перемежка» (перерыв, промежуток) с помощью суффикса -ко. Предки носителя этой фамилии, скорее всего, были крестьянами или ремесленниками из западной Украины, а прозвище им дали за манеру работать или говорить с паузами, или за непостоянный образ жизни. Фамилия редкая, локальная и хорошо сохраняет исходный смысл.