Фамилия Письменная (в исходном запросе, вероятно, опечатка — «Пмсьменная») — женская форма фамилии Письменный. Это одна из тех фамилий, которые образованы напрямую от прилагательного, а не от отчества или прозвища по отцу. В русской ономастике такие фамилии встречаются реже, чем патронимические на -ов/-ев или -ин, и часто указывают на сословное или профессиональное происхождение.

Самая очевидная версия: фамилия происходит от слова «письменный» — то есть грамотный, умеющий писать. В условиях, когда грамотность была привилегией меньшинства, прозвище Письменный мог получить дьяк, подьячий, переписчик книг или любой человек, владеющий письмом. В Московской Руси XVI–XVII веков «письменные люди» — это служащие приказов, канцеляристы, которых отличали от неграмотных крестьян и ремесленников. Фамилия могла закрепиться за потомками такого человека, особенно если он служил в церковной или государственной канцелярии.

Есть и вторая, менее распространённая версия, связанная с географией. В некоторых говорах «письменный» означало «относящийся к письму» не как к грамоте, а как к документу, акту. Например, «письменная душа» в переписных книгах — учтённый крепостной. В таком случае фамилия могла возникнуть у крестьян, приписанных к определённому поместью или переписанных в ревизских сказках. Но эта гипотеза слабее: прозвища по документам давали редко, обычно по личному качеству или занятию.

Фамилия Письменный/Письменная — не самая частая, но устойчиво встречается в южнорусских и украинских регионах, особенно в бывших казачьих областях. Там грамотность ценилась выше, и прозвище могло закрепиться за писарем или школьным учителем. Суффикс -н- в основе указывает на качественное прилагательное, а окончание -ая — на женский род, что типично для фамилий-прилагательных в русском языке (ср. Белая, Умная, Кудрявая).

Если у вас фамилия Письменная, то с высокой вероятностью ваш предок был человеком грамотным в среде, где это было редкостью: возможно, сельским писарем, дьячком или мелким чиновником. Фамилия не несёт дворянского оттенка — скорее, она из служилой или церковной среды, где письменный труд был профессией.