Фамилия Побегфйло — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено при записи или оцифровке. В русском языке сочетание «гф» нетипично, а корень «побег-» ясно указывает на глагол «побежать» или существительное «побег». Скорее всего, исходная форма — Побегайло или Побегайла. Ошибка могла возникнуть из-за неразборчивого почерка в паспортном столе или при автоматическом распознавании текста: букву «а» прочли как сочетание «гф» или перепутали с похожей по начертанию кириллической буквой.

Если принять версию Побегайло, фамилия образована от прозвища Побегайло. Суффикс -айло (или -яйло) в русских фамилиях и прозвищах встречается нечасто. Он характерен для северных и сибирских говоров и часто придаёт слову оттенок многократности или склонности к действию. Побегайло — это «тот, кто часто бегает, убегает». Прозвище могли дать непоседливому, суетливому человеку, а в более узком смысле — беглому крестьянину или солдату, который скрывался от службы или помещика. В словаре Б. Унбегауна подобные модели описываются как типичные для прозвищ, характеризующих поведение.

Другая, менее вероятная версия — связь с украинским или белорусским словом «побігайло» (погонщик, рассыльный). В таком случае фамилия могла указывать на занятие: человек, который постоянно в движении, выполняет поручения. Однако для русского Северо-Запада и Центральной России форма «побегайло» встречается в документах XVII–XVIII веков именно как личное прозвище, а не профессиональное имя.

Географически фамилия Побегайло (и её вариации) чаще всего записана в архивах Смоленской, Псковской и Тверской губерний. Там же встречаются однокоренные фамилии: Побегалов, Побегаев, Побегущий. Все они восходят к одному корню, но различаются суффиксами: -ов указывает на патроним (сын Побегая), а -айло — на прямое прозвище.

Таким образом, если вы носитель фамилии Побегфйло, ваш предок с большой долей вероятности носил прозвище Побегайло — человек непоседливый или беглый. А нынешнее написание — скорее всего, случайная описка, закрепившаяся в документах.