Фамилия Побегов — редкий пример, когда основа не очевидна, хотя на слух кажется простой. Первое, что приходит в голову: связь с глаголом «побежать» или существительным «побег». Но тут нужно разобраться, о каком побеге идёт речь: о бегстве или о молодом отростке растения.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?»), то есть Побегов — сын Побега. А вот прозвище Побег могло возникнуть двумя разными путями. Первый: так могли назвать беглого крестьянина, солдата или каторжника — человека, который сбежал. Второй, менее очевидный: в южнорусских и украинских говорах «побег» означало молодой побег растения, росток. Прозвище могли дать высокому, тонкому или быстро растущему парню, а также садоводу или огороднику.

Версия с растительным значением подкрепляется тем, что в русской ономастике есть целый пласт «растительных» фамилий: Дубов, Березов, Цветков. Побегов встаёт в этот ряд, но с уточнением — не само дерево, а его часть, отросток. Это делает фамилию более редкой и узкой по смыслу, чем, скажем, Ростов или Листов.

Версия с бегством тоже правдоподобна, но социально более резкая. Прозвище Беглый или Побег давали не в качестве комплимента, а как примету — такой человек однажды скрылся. В документах XVII–XVIII веков встречаются крестьяне с фамилией Побегалов (от «побегал»), что подтверждает бытование этой модели. Побегов — более краткая и прямая форма.

Географически фамилия тяготеет к центральным и южным регионам России, встречается в Воронежской, Тамбовской, Ростовской областях. В северных говорах слово «побег» в значении «росток» почти не употреблялось, поэтому там основа скорее указывала бы на бегство.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» Побегов не упоминается в основных списках, что говорит о её редкости. Это не массовая фамилия вроде Иванова или Кузнецова, а скорее локальное прозвище, закрепившееся в одном-двух родах. Поэтому носители Побеговых, скорее всего, имеют общего предка, получившего это прозвище несколько веков назад — либо за склонность к побегам, либо за сходство с молодым ростком.