Фамилия Побегаева — женская форма от Побегаев, и в ней сразу слышится глагол «побегать» или «побежать». Но не спешите записывать предка в легкоатлеты. Скорее всего, перед нами прозвище, данное человеку за характер или образ жизни. «Побегай» или «Побегайло» на Руси могли назвать того, кто был непоседлив, суетлив, постоянно находился в движении, или же, напротив, того, кто уклонялся от дел, «убегал» от работы или ответственности. Второй вариант особенно правдоподобен: в диалектах «побегай» означало беглеца, бродягу или того, кто скрывается.

По словообразовательной модели фамилия Побегаев — типичная для русского севера и центральных областей. Суффикс -ев присоединился к основе, оканчивающейся на -ай (Побегай). Такие фамилии массово возникали в XV–XVII веках, когда прозвища превращались в наследственные именования. Интересно, что в некоторых говорах слово «побегай» имело и более конкретное значение: так называли человека, который часто менял место жительства или нанимался на сезонные работы, то есть был отходником. Это даёт намёк на социальный портрет родоначальника — возможно, он был крестьянином, не привязанным к одному наделу.

Стоит отметить, что фамилия Побегаев — довольно редкая. В отличие от распространённых «Бегунова» или «Беглова», здесь ударение падает на второй слог (Побе́гаев), что тоже характерно для некоторых северных говоров. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, происходил из Вологодской или Архангельской губернии — именно там встречаются ранние документальные упоминания крестьян с прозвищем Побегай. В более южных регионах она почти не фиксируется.

Есть и альтернативная, менее вероятная версия: от имени Побег, которое могло быть охранительным. В древности родители могли назвать ребёнка Побегом, чтобы «отогнать» от него болезни или злых духов, — мол, пусть беды «убегают» прочь. Однако в ономастических словарях (например, у Б. Унбегауна) такая модель для славянских фамилий не подтверждается, а прозвищная основа «побегай» встречается куда чаще. Поэтому основная версия остаётся самой надёжной: Побегаевы — потомки человека, которого за подвижность или склонность к бродяжничеству прозвали Побегаем.