Фамилия Побега — редкий пример фамилии, образованной от глагола в повелительном наклонении. В русской ономастике такие фамилии называют «императивными»: они возникли из прозвищ-команд, которые давали человеку за характерный поступок, привычку или ремесло. Основа здесь — глагол «побегать» или «побежать», но в повелительной форме «побегай» (сокращённо — «побега»). Так могли прозвать непоседу, суетливого или, наоборот, того, кто постоянно убегал от дел, уклонялся от работы. В крестьянской среде такое прозвище часто закреплялось за детьми: «Побега» — вечно бегающий мальчишка, шатун.

Словообразовательная модель проста: основа «побег-» (от «побегать») плюс окончание -а, типичное для прозвищ в именительном падеже. Суффикса -ов или -ин в фамилии нет, что указывает на её севернорусское или сибирское происхождение: в этих регионах фамилии часто застывали в чистой форме прозвища, без патронимического суффикса. В центральных и южных губерниях такую основу обычно переоформляли в Побегаев или Побегалов.

У фамилии есть и вторая, менее очевидная версия происхождения — от прозвища, связанного с побегом (бегством). В старину «побегом» называли беглого крестьянина или солдата-дезертира. Прозвище Побега мог получить человек, который однажды сбежал от помещика или из армии, либо тот, кто укрывал беглых. Однако глагольная форма («побега» как «бегай») встречается в источниках чаще, чем именование по действию в прошлом.

География фамилии узкая. Побега встречается в основном на Русском Севере (Архангельская область) и в Сибири, куда переселялись северяне. В центральных областях и на юге она почти не фиксируется. По данным переписей XIX века, носители фамилии были государственными крестьянами, то есть лично свободными, что косвенно подтверждает версию о прозвище-характеристике, а не о беглом крепостном.

Родственных фамилий несколько: Побегаев, Побегалов, Побегайло (украинская форма). Но Побега стоит особняком — это краткая, «непричёсанная» форма, сохранившая живое звучание прозвища. Такие фамилии ценны тем, что несут в себе прямую речевую интонацию предка: окрик, шутку или укор, застывшие в фамилии на века.