Фамилия Побегаев — один из тех случаев, когда прозвище, лёгшее в основу, могло иметь два прямо противоположных смысла: либо человека так дразнили за неспокойный нрав, либо, наоборот, уважали за расторопность. Разбираться нужно с корнем «побег».

Самое очевидное, что приходит на ум, — побег, бегство. Прозвище Побегай могли дать человеку, который однажды сбежал из плена, с каторги или из солдатчины, либо тому, кто часто менял место жительства, «убегал» от долгов или барщины. В крестьянской среде, где оседлость была нормой, такой человек выделялся. Однако у глагола «побегать» есть и другое, активное значение — быстро сбегать по делу, быть ловким, проворным. Побегаем в некоторых говорах называли расторопного, скорого на ногу работника, посыльного или гонца. В этом случае фамилия несла положительную характеристику.

Модель образования проста: основа «Побегай» (повелительное наклонение глагола, ставшее прозвищем) плюс типичный русский суффикс принадлежности -ев. Фамилия отвечает на вопрос «чей?» — сын Побегая. Ударение, скорее всего, падает на последний слог: Побега́ев.

Интересно, что фамилия редкая и имеет выраженную географическую привязку. В дореволюционных справочниках и современных базах данных Побегаевы чаще всего встречаются на Урале и в Сибири, особенно в Пермской и Тобольской губерниях. Это не случайно: именно в этих краях было много ссыльных и беглых, и прозвище Побегай могло закрепиться за теми, кто сам был «беглым» или происходил из семьи таких людей. Вольные уральские и сибирские земли притягивали тех, кто хотел начать жизнь заново, и фамилия становилась молчаливым напоминанием о непростой семейной истории.

Родственные фамилии — Побегалов, Побегайло, Бегунов, Убегалов. Все они образованы от одного корня, но с разными суффиксами. Побегаев выделяется своей простотой и древностью: это типичная «деревенская» фамилия, возникшая не в среде духовенства или дворянства, а в народной среде, где прозвища давали метко и на всю жизнь.