Фамилия Побидаш — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано не с победой, а с бедой. Если отбросить интуитивное сближение со словом «победа», корень здесь — «бед», как в словах «беда», «бедный». Приставка «по-» и суффикс «-аш» образуют модель, характерную для украинских и южнорусских фамилий: это прозвище человека, с которым постоянно случаются несчастья, или того, кто «побирается», то есть живёт в крайней нужде. В говорах «побидаш» могли назвать неудачника, горемыку, а также нищего, который ходит «по бедам» — по чужим домам в поисках подаяния.

Менее вероятна, но не исключена версия от диалектного глагола «побидить» — одолеть, осилить. В этом случае прозвище давали победителю, задире или спорщику. Однако против этой гипотезы говорит суффикс «-аш»: в восточнославянских фамилиях он чаще оформляет уничижительные или ироничные прозвища (как Голодаш, Бедняш), а не героические.

Фамилия бытует почти исключительно на Украине и в южных областях России, особенно в Черниговской, Полтавской и Сумской областях. Встречается в документах XVIII–XIX веков среди казацкой старшины и крестьян — сословного барьера у прозвища не было. Ударение, судя по произносительной традиции, падает на последний слог: Побида́ш.

Словообразовательно фамилия стоит в ряду таких же «несчастливых» прозвищ, как Неудачников, Бедняков, Горемыкин, но отличается редким суффиксом, который не дал ей превратиться в стандартную форму на -ов или -ин. Именно эта архаичная модель и сохранила фамилию в почти неизменном виде с XVII–XVIII веков.