Фамилия Побиянова — женская форма фамилии Побиянов, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель на -ов/-ев в русских фамилиях стандартна: она указывает на принадлежность («чей?»), то есть Побиянов — это сын или потомок человека по прозвищу или отчеству Побиян. Редкость здесь не в суффиксе, а в основе: корень «-би-» и приставка «по-» сразу наводят на мысль о глаголе «побить» или «побивать». Однако напрямую фамилия не означает «тот, кого побили» — в русском языке прозвища с приставкой «по-» часто образовывались от глаголов в значении «тот, кто занимается действием» (ср. Погонялов, Поливанов). Побиян могло быть прозвищем драчуна, задиры или человека, который в чём-то «побивал» других — например, в кулачных боях или в ремесле.

Версия с диалектным или профессиональным оттенком тоже имеет право на жизнь. В некоторых говорах «побиянить» означало «колотить, стучать, бить в колотушку» — такое прозвище могли дать сторожу или ночному караульщику, который обходил деревню с трещоткой. Есть и более прозаичное объяснение: основа могла произойти от имени Побиян как народной формы канонического имени Полиевкт или Поликарп, где приставка «по-» заменила начальное «поли-» в результате переосмысления. Но это предположение слабее, так как следов такого имени в документах почти нет, а глагольные прозвища в русской ономастике встречаются гораздо чаще.

Географически фамилия Побиянов (и Побиянова) тяготеет к южнорусским и украинским областям, особенно к Ростовской области и Краснодарскому краю. В казачьей среде такие прозвища, отражающие бойцовский характер или службу, были обычным делом. Прямых упоминаний в классических ономастических словарях, например у Унбегауна или Веселовского, нет — фамилия редкая, не попавшая в общерусские списки дворянства или купечества. Это значит, что предки носителей фамилии скорее всего были крестьянами или казаками, а фамилия закрепилась в XIX веке, когда прозвище перешло в наследственное имя.