Фамилия Побоева — женская форма, а её мужской вариант Побоев. В основе лежит прозвище или мирское имя Побой. Чтобы понять его смысл, стоит заглянуть в народную речь. В русских говорах «побой» — это не только драка или удар, но и растение, ботва, например картофельная. Человек, получивший такое прозвище, мог быть драчуном, забиякой, но мог и возделывать огород, если прозвище дали по «побою» — по зелёной массе, которую он убирал.

Образование фамилии типично для восточнославянской модели: к основе на согласный добавили суффикс -ов, означающий принадлежность. Побоев — буквально «сын Побоя», «из рода Побоя». Суффикс указывает на то, что фамилия сложилась в среде крестьян или посадских людей, где отчества на -ов были массовыми в XV–XVII веках.

Встречается фамилия Побоев/Побоева в нескольких регионах. По данным современных телефонных справочников и архивных записей, она заметна в Вологодской и Архангельской областях, а также в Сибири, куда переселенцы уходили из северных губерний. Это подтверждает связь с севернорусскими говорами, где слово «побой» в значении «трава, ботва» хорошо известно.

Есть и другая, менее очевидная версия. «Побой» могли назвать человека, который работал с «боем» — то есть с разбитыми вещами, например с битой посудой или стеклом. В старину существовала профессия «бойщика», который дробил камни или колол дрова. Но эта гипотеза слабее: прозвище от занятия обычно звучало бы как Бойщик, а Побой — скорее качественная характеристика или бытовое имя.

Таким образом, фамилия Побоева — это отчество от прозвища, которое в разных говорах означало либо драчуна, либо огородника. Северное происхождение подкрепляется географией фамилии, а суффикс -ев указывает на мягкий вариант основы (Побой — Побоев). Других надёжных данных о сословной принадлежности или точном времени возникновения нет.