Фамилия Побоев — из числа тех, что звучат грозно, но на деле восходят к мирному и даже бытовому прозвищу. Корень здесь очевиден: «побои» — драка, избиение. Однако прямой связи с буйным нравом предка может и не быть. Чаще всего так в старину называли не задиру, а, напротив, жертву — человека, которого «побили», то есть избили. Прозвище Побой или Побоец давали тому, кто пережил нападение, или тому, кто ходил в синяках. В крестьянской среде, где драки были делом обычным, такое прозвище не обязательно несло унизительный оттенок — скорее, служило приметой, как «Косой» или «Рябой».

Модель образования проста и типична для русского Севера и центра: основа Побой (или Побоев в родительном падеже) плюс суффикс -ев. Фамилия Побоев — это притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чей?»: сын Побоя. Интересно, что в некоторых говорах слово «побой» могло означать не только драку, но и «бой», «битву» в переносном смысле — например, молотьбу зерна. Тогда прозвище могло закрепиться за хорошим работником на току. Но эта версия менее распространена.

Географически фамилия редкая. В дореволюционных источниках она встречается в основном в северных и вологодских землях, где активно бытовали прозвища на -ой и -ай. Встречается и однокоренная фамилия Побоин, образованная по другой модели. Если ваш предок носил фамилию Побоев, он, скорее всего, происходил из крестьян или посадских людей — дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. В метрических книгах XIX века Побоевы записаны как государственные крестьяне, реже — мещане.

В ономастическом словаре Б. Унбегауна фамилия Побоев не упоминается, что подтверждает её нечастотность. Словарь В. Даля фиксирует слово «побой» в значениях «удар» и «побоище», но без специальной этимологии фамилии. Споров среди лингвистов практически нет: все сходятся на том, что основа — прозвище от слова «побои», а версия с «побоем» как орудием молотьбы — лишь маловероятное допущение.