Фамилия Побожьев — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а, скорее всего, прозвище, связанное с отношением к религии. Ключ к разгадке — корень «бож-», от слова «Бог». Однако суффикс «-ьев» указывает на отчество, образованное от имени или прозвища, которое заканчивалось на «-ий»: Побожий, Побожей. В старину «побожным» называли человека набожного, богомольного, либо того, кто «по Богу» живёт — то есть праведника. Но есть и другая, более прозаичная версия: «побожье» в некоторых говорах означало церковную землю или угодье, принадлежащее храму. Тогда Побожьев — потомок того, кто жил на такой земле или обрабатывал её.

Словообразовательная модель здесь нестандартная. Обычно фамилии на «-ьев» образуются от имён вроде Илья — Ильин, но от «Илий» получилось бы Ильев. В случае с Побожьевым исходная форма — либо прозвище Побожий (с ударением на второй слог), либо Побожей. Фамилия явно не крестьянская массовая, а скорее локальная, возможно, из северных или центральных губерний, где были сильны старообрядческие общины, ценившие «побожное» поведение.

В словарях русских фамилий Побожьев не встречается как часто упоминаемая, что говорит о её редкости. В отличие от распространённых Божьевых или Божковых, где корень мог относиться к иконописи или кличке, здесь приставка «по-» придаёт оттенок «по обычаю, по закону Божьему». В документах XVII–XVIII веков можно было встретить запись «Побожий сын» — то есть человек, данный Богом, но это скорее исключение.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в тех регионах, где бытовали прозвища с религиозным оттенком, — например, в Архангельской, Вологодской или Костромской губерниях. Там же могло сохраниться и написание через «о» — Побожьев — в отличие от возможного варианта Побожьевъ (с твёрдым знаком в дореволюционной орфографии). Споров о происхождении почти нет: все версии сходятся на том, что фамилия указывает на связь с верой, но не на духовное сословие — священники чаще получали фамилии по названиям церквей (Успенский, Троицкий). Побожьевы — это миряне, чьё прозвище подчёркивало их благочестие или место жительства.