Фамилия Побожая звучит необычно для русского уха, и первое, что приходит в голову, — вопрос: это мужская или женская форма? Ответ кроется в истории слова. В основе фамилии лежит древнерусский глагол «побожиться», то есть «помолиться», «дать клятву перед иконой». От него образовалось прозвище Побожий, которое закреплялось за человеком благочестивым, набожным, тем, кто часто и истово молился. Потомки такого человека со временем получали фамилию Побожий, а форма Побожая — это, скорее всего, застывшее притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чья?». То есть изначально так говорили о жене или дочери: «Побожая жена», «Побожая дочь». Позже эта форма закрепилась как самостоятельная фамилия, и сегодня её носят и мужчины, и женщины, хотя по звучанию она сохранила отпечаток женского рода.

Интересно, что прозвище Побожий могло иметь и второй оттенок смысла. В народной речи «побожиться» означало не только помолиться, но и публично подтвердить правоту слова, призвав Бога в свидетели. Так могли прозвать человека, который славился честным словом, или, наоборот, того, кто часто божился всуе. Но более правдоподобной выглядит версия о набожности: такие прозвища давали с уважением, и они легко переходили в фамилии.

Словообразовательная модель здесь — суффикс -ж-, который встречается в русских фамилиях реже, чем привычные -ов или -ин. Это делает Побожую заметной на фоне типовых окончаний. Сама основа — глагол с приставкой по- и корнем -бож- — отсылает к церковнославянскому «Богъ». Подобные фамилии, образованные от религиозных понятий, встречаются в крестьянской и мещанской среде, где прозвища часто давали по чертам характера, а не по роду занятий.