Фамилия Поборская — редкий случай, когда географическая основа почти наверняка перевешивает прозвищную. Судя по суффиксу -ск-, перед нами типичная «дворянская» или «географическая» модель: такую фамилию получали выходцы из населённого пункта с корнем Побор-. Искать его стоит на западе бывшей Речи Посполитой: в Польше есть несколько мест с названием Поборы (Pobory) или Побоже (Poborze), а в Беларуси и на Украине — деревни Поборы. Человек, переехавший оттуда, становился Поборским (мужской вариант), а его жена или дочь — Поборской. В России такая фамилия встречается редко и чаще всего в областях, куда в XVIII–XIX веках переселялись поляки, белорусы или украинцы (Смоленская, Брянская, запад Сибири).

Менее вероятная, но возможная версия — прозвище Побора от глагола «побирать» (собирать, взимать). В древнерусском языке «побор» означал подать, налог или сбор. Поборой могли назвать сборщика дани, мытаря или человека, который «побирался» — просил милостыню. Однако суффикс -ск- для таких прозвищ нехарактерен: обычно от них образовывали фамилии на -ов (Поборов) или -ин (Поборин). Поэтому, если у вас в роду нет традиции писать фамилию через «а» (Побарская) или с ударением на второй слог, скорее всего, предки были не сборщиками, а просто выходцами из деревни.

Обратите внимание на написание: вариант Поборская (с буквой «о» во втором слоге) — основной и единственный литературный. В документах XIX века могла встречаться путаница с фамилией Побарская (от «побара» — борец), но это разные корни. Если ваши предки были дворянами или мещанами, стоит поискать в метрических книгах западных губерний Российской империи — там фамилия фиксируется с середины XVIII века. У крестьян она появляется позже, после отмены крепостного права, когда бывшим помещичьим крестьянам давали фамилии по названиям их деревень.