Фамилия Побребна — редкий случай, когда географическое прозвище застыло в краткой форме прилагательного женского рода. В русской ономастике фамилии на -а, не склоняемые по мужскому роду (как Побребна, а не Побребнин), почти всегда указывают на украинское или белорусское происхождение. Там подобные формы — норма: Журба, Ряба, Негреба. Побребна, скорее всего, из того же ряда.

Основа фамилии — «побреб-», родственная слову «бреб» или диалектному «брести». В украинском и южнорусских говорах «бреб» — брод, мелкое место для перехода через реку. Человек, живший у такого брода или перевозивший через него, мог получить прозвище Побребний или Побребна. Приставка «по-» здесь указывает на расположение рядом с объектом: «побребный» — тот, кто у брода, при броде. Сравните с фамилиями Побережный (у берега) или Поречный (у реки).

Есть и другая, менее вероятная версия: от глагола «брести» — идти медленно, с трудом. Побребна могло быть прозвищем человека, который «побрел» куда-то, то есть переселенца, пришлого. Однако для прозвищ такого типа чаще использовали форму Побродяга или Бредущий, а не Побребна.

Суффикс -н- в основе типичен для прилагательных со значением принадлежности к месту. Фамилия не получала дворянского суффикса -ский, значит, её носители — скорее всего, крестьянское или казачье сословие, жившее в сёлах у речных переправ. Встретить Побребна можно в Черниговской, Полтавской или Сумской областях, а также на юге России, куда переселялись украинцы.

Однокоренные фамилии — Побребенко, Побребный, Побребняк — встречаются чаще и подтверждают украинский корень. Если ваш предок носил фамилию Побребна, он, вероятно, жил у брода через небольшую реку и занимался перевозом или рыболовством.