Фамилия Подугольников — редкий случай, когда прозвище не просто называло человека, а буквально описывало его место в пространстве. В основе лежит не ремесло и не имя, а предлог «под» и существительное «угольник». Если разобрать слово «угольник» в старом бытовом смысле, то это не геометрическая фигура, а либо место для хранения угля (угольный сарай, ящик), либо человек, который занимался углем (торговец, угольщик). Соответственно, Подугольников — это тот, кто живет «под угольником», то есть рядом с угольным складом или сараем, или же человек, который стоит ниже по положению относительно угольщика (например, его подручный).

Суффикс «-ник» в основе указывает на объект или профессию, а фамильный суффикс «-ов» — на принадлежность: «сын того, кто под угольником». Такая модель образования (предлог + существительное + суффикс) встречается нечасто. Большинство фамилий строится от имени или ремесла напрямую, а Подугольников — это топографическое прозвище, которое закрепилось за семьей. Сравните с фамилиями Подгорный, Подберезкин, Поддубный — везде та же логика: указание на место жительства рядом с каким-то объектом.

Версия, что «угольник» здесь — это инструмент (чертежный уголок или плотницкий наугольник), маловероятна. Прозвище «Подугольник» в этом случае означало бы «тот, кто работает под угольником», что звучит натянуто. Гораздо правдоподобнее бытовая, крестьянская или мещанская среда, где уголь был топливом и товаром, а сарай с углем — заметным ориентиром. Фамилия могла возникнуть в регионах с развитой угольной торговлей, но не обязательно на шахтах: в любом городе или селе был свой угольный двор.

Встречаемость фамилии низкая, она не входит в списки распространенных русских фамилий. Варианты написания — Подугольников и Подугольниковъ (до реформы орфографии) — не меняют смысла. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: ПодУгольников, хотя в разговорной речи могло смещаться на третий. Социально фамилия не указывает на дворянство или духовенство: это типичная «низовая» фамилия, образованная от бытового прозвища, без книжного или церковного следа.