Фамилия Поемшина — женская форма фамилии Поемшин, а её основа уходит корнями в мир диалектных глаголов и прозвищ. Скорее всего, в её основе лежит глагол «поять» (или «поимать») — в старых говорах так говорили «поймать», «схватить». Отсюда могло возникнуть прозвище Поёмша — человек ловкий, хваткий, или же тот, кто занимался ловлей, например, рыбы или зверя. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — сын или дочь Поёмши.

Менее вероятная, но возможная версия связывает фамилию с рекой Поёмша (такая есть в бассейне Оки) или с названием местности. В этом случае прозвище получил человек, живший на берегу этой реки. Однако глагольное происхождение выглядит более органичным для русских прозвищных фамилий.

Фамилия редкая и не встречается в крупных исторических справочниках — ни у Унбегауна, ни у Веселовского. Это говорит о её локальном бытовании: носители, скорее всего, происходят из одного или нескольких соседних сёл центральной России, где в ходу был диалект «поёмша». В современном распределении фамилия встречается единично, в основном в Вологодской и Костромской областях, что косвенно подтверждает севернорусский говорный след.

С точки зрения словообразования, фамилия Поемшина стоит в одном ряду с такими же краткими притяжательными формами от прозвищ: Потапов — от Потап, Поёмшин — от Поёмша. Модель простая и древняя, без заимствованных суффиксов. Если ваш предок носил такую фамилию, он, вероятно, был крестьянином или охотником-рыболовом из глубинки, где прозвище закрепилось за родом на несколько поколений.