Фамилия Погирейчик — редкий экземпляр, который интересен не столько корнем, сколько своей словообразовательной моделью. Она почти наверняка белорусского или западноукраинского происхождения, и чтобы это понять, достаточно посмотреть на суффикс.

Суффикс -чик в восточнославянских фамилиях чаще всего указывает на уменьшительно-ласкательную форму или на принадлежность к роду (как в польских фамилиях на -czyk). В белорусском и украинском языках он активно использовался для образования фамилий от прозвищ или профессий. Погирейчик — это, скорее всего, «сын Погирея» или «маленький Погирей». Основа Погирей- явно восходит к прозвищу, а не к крестильному имени. В русском языке такого слова нет, в украинском и белорусском — тоже не частое.

Самая правдоподобная версия — связь с диалектным глаголом «погіряти» или «погоріти», то есть «погореть», «сгореть». Прозвище Погирей мог получить человек, переживший пожар, потерявший дом, или, наоборот, тот, кто занимался выжигом угля, смолы или выжигал лес под пашню. Второй вариант, менее вероятный, — от слова «гирька» (гиря), тогда прозвище могло относиться к человеку грузному или работающему с гирями (кузнец, весовщик). Но фонетика говорит за первый вариант: в украинском и белорусском «о» в закрытых слогах часто переходит в «і» (погоріти — погіряти).

В польском языке есть фамилия Pogirski, но Погирейчик — это чисто восточнославянская форма с патронимическим суффиксом. В России фамилия встречается единично, в основном в западных областях (Брянская, Смоленская) или у потомков переселенцев из Беларуси. В самой Беларуси она тоже не массовая, но узнаваемая. Социально носители, скорее всего, происходили из крестьян или мещан — фамилия не дворянская и не духовная, суффикс -чик в этих сословиях не использовался для обозначения знатности.

Коротко: предок вашего Погирейчика — человек, которого прозвали Погирей («погорелец» или «выжигальщик»), а его дети стали Погирейчиками. Фамилия сохранила редкую для русского уха, но живую для белорусского языка модель образования.