Фамилия Погогелый — один из тех случаев, когда внешний облик слова обманчив. На первый взгляд она кажется славянской, но если присмотреться, в ней нет ни одного стандартного русского суффикса, образующего фамилии. Окончание -ый типично для русских прилагательных (как Белый, Толстый), но вот корень «погогел» — загадка. Ни в древнерусском, ни в современных славянских языках слова «погогелый» или «погогел» не существует. Это почти наверняка искажённая, «обрусевшая» форма нерусской фамилии.

Самая вероятная версия — фамилия восходит к немецкому или еврейскому (ашкеназскому) корню. На слух она близка к немецкой фамилии Bogengel или Bogengell, которая могла попасть в Россию вместе с переселенцами или ссыльными. В немецком Bogen — «дуга», «лук», а Gel (от gelb) — «жёлтый». Вместе это могло быть прозвищем лучника, мастера по изготовлению луков, или человека, жившего у излучины реки. При переходе в русскую среду «Богенгель» через народную этимологию превратился в «Погогелый» — окончание переделали под привычное -ый, а начало переосмыслили как приставку «по-».

Другая версия, менее правдоподобная, но имеющая право на существование, — искусственное происхождение. В семинарской среде фамилии нередко калькировали с греческого или латыни. Если предположить, что в основе лежит греческое pogos (борода) и gelos (смех), то «Погогелый» могло означать «бородатый смех» или «смеющийся бородач». Однако это скорее остроумная реконструкция, чем научная гипотеза: в реальных списках семинаристов такая фамилия не встречается.

Географически фамилия крайне редкая и, судя по современным данным, тяготеет к югу России и Поволжью — регионам, куда в XVIII–XIX веках активно приглашали немецких колонистов. Встречаются единичные носители в Ростовской области и Краснодарском крае. Если ваши предки носили фамилию Погогелый, с большой вероятностью они были потомками обрусевших немцев или евреев-ашкеназов, чью фамилию переделали на русский лад при записи в метрические книги.