Фамилия Потримайлов — редкий пример того, как в основе фамилии лежит не имя, не ремесло, а глагольная форма, застывшая в повелительном наклонении. В русской ономастике такие фамилии называют «императивными»: они образованы от прозвищ, данных по команде или характерному действию. Здесь основа — «потри май» (или «потри майло»), то есть буквально «натри майонезом» или «разотри майоран». Но, разумеется, речь не о кулинарном рецепте.

Скорее всего, прозвище Потримай (или Потримайло) получил человек, который что-то постоянно тёр, растирал — например, табак, краски, крупу или снадобья. Второй элемент «май» мог быть искажением слова «майло» (мыло) или «май» как месяц, но в бытовой речи XVIII–XIX веков «май» часто означало просто «мазь, растирку». Таким образом, Потримай — это «растиратель мази», знахарь, аптекарь или даже банщик, готовивший лечебные составы. Суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын Потримая» или «из семьи Потримаевых».

Фамилия нечастая, географически привязана в основном к южнорусским и украинским регионам, где диалектная форма «май» в значении «мазь» была распространена. Встречается также вариант Потримайло, от которого Потримайлов — более поздняя русифицированная форма. В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова эта фамилия не фигурирует, что подтверждает её локальный, почти микробытовой характер.

Интересно, что фамилия сохранила глагольную конструкцию, не переосмысленную в более привычные именные формы. Это говорит о том, что прозвище было дано по конкретному, заметному занятию предка, а не по внешности или характеру. Если ваш предок носил фамилию Потримайлов, он с высокой вероятностью был ремесленником, связанным с приготовлением смесей — от мыловара до аптекаря, и жил в среде, где такое занятие было настолько характерным, что стало родовым именем.