Фамилия Пупердяйкин — редкий случай, когда основа прозвища почти наверняка звуковая, а не смысловая. Словообразовательная модель прозрачна: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — Пупердяйкин), а корень, скорее всего, восходит к глагольной форме или междометию, имитирующему резкий, неожиданный звук. В русских говорах «пупердяй» или «пупердя» могло означать нечто вроде «пых», «бух» — то есть прозвище могли дать человеку за манеру внезапно появляться, громко топать или издавать характерные звуки при ходьбе. Это не ругательство, а бытовая, часто шутливая характеристика.

Вторая, менее вероятная версия связывает фамилию с диалектным глаголом «пупердить» — шуметь, возиться, делать что-то с грохотом. В этом случае Пупердяйкин — потомок того, кого в деревне прозвали Пупердяем за суетливость или неловкость. Обратите внимание на редкий для русских фамилий повторный суффикс -яй-: он характерен для прозвищ, образованных от звукоподражательных основ (ср. «агукать» — Агукалкин, «тюлюлюкать» — Тюлюлюкин). Такие фамилии почти не встречаются в дворянской или купеческой среде — они бытовали в крестьянской и мещанской среде северных и центральных губерний, где ценили меткое, часто ироничное прозвище.

Географически фамилия Пупердяйкин крайне редка. В дореволюционных переписях и современных базах данных она почти не фиксируется, что говорит о локальном бытовании — возможно, в одном-двух селах или даже в одной семье. Писарь мог записать прозвище на слух, отсюда варианты вроде Пупердякин или Пупирдяйкин, но форма с -й- перед суффиксом более устойчива. Если вы носитель этой фамилии, велика вероятность, что ваши предки — крестьяне из глубинки, где прозвище давали не за профессию или внешность, а за повадку или манеру себя вести.