Фамилия Радиудская — редкая и нестандартная для русского уха. Её основа не имеет очевидных славянских корней, что сразу наводит на мысль о заимствовании или искусственном происхождении. Скорее всего, перед нами фамилия, образованная от географического названия, причём не русского, а польского или белорусского. Типичный для восточнославянских фамилий суффикс -ск- указывает на принадлежность к местности: «Радиудский» — тот, кто родом из Радиуд или Радиудова.

Что такое «Радиуд»? Самое правдоподобное объяснение — это вариант написания польского топонима Radziud или Radziudy. В Польше и Западной Беларуси есть несколько небольших деревень с похожими названиями, например, Радзюды или Радзиуды. Корень может восходить к имени Радзюд — это народная форма от полного имени Радзивил (литовского происхождения) или от славянского Радослав. Имя Радзивил было широко распространено среди литовской и польской шляхты, а его уменьшительная форма легко могла закрепиться за хутором или усадьбой.

Форма «Радиудская» (женский род) указывает на то, что носительница — женщина. Мужской вариант — Радиудский. Окончание -ая типично для русских фамилий, образованных от прилагательных, но сама основа явно невеликорусская. В XIX веке такие фамилии часто встречались среди польской мелкой шляхты, которая после разделов Речи Посполитой оказалась в составе Российской империи. Предки могли быть землевладельцами или крестьянами, приписанными к поместью с названием, похожим на Радиуды.

Есть и менее вероятная версия: связь с литовским словом radyti (находить, отыскивать) или rada (совет). Но в ономастике прямая связь с глаголом без топонима встречается редко, поэтому географическая версия надёжнее. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их следы в Гродненской или Виленской губерниях — там подобные фамилии встречались чаще.