Фамилия Разбитскова — женская форма мужской фамилии Разбитсков, и её разговорный вариант может звучать как Разбитская. Уже по суффиксу -ск- видно, что фамилия образована не от имени или прозвища напрямую, а от географического названия — скорее всего, от населённого пункта с корнем «Разбит-» или «Разбитый». Такие фамилии в XVI–XIX веках часто получали дворяне по названию своего поместья, но ещё чаще — крестьяне или однодворцы, переселившиеся из села или деревни с похожим именем.

Корень «разбит-» прозрачен: он восходит к глаголу «разбить». В топонимике России встречаются названия вроде Разбитый Лог, Разбитая Гора, Разбитое — овраги, урочища или поля, где когда-то произошло что-то, связанное с разбиванием (например, разбился обоз, разбили лагерь, или земля была разбита плугом). Человек, переехавший из такого места, получал прозвище «Разбитской» — то есть «тот, кто из Разбитого». Форма Разбитсков закрепилась через типичный для русского ономастикона суффикс -ов, который «наращивали» на основу прилагательного, чтобы образовать фамилию: Разбитской → Разбитсков.

Менее вероятна, но возможна версия от прозвища «Разбитский» — так могли назвать человека буйного нрава, драчуна или того, кто разбивал посуду. Однако в пользу топонимической версии говорит сам суффикс -ск-, который в фамилиях русских крестьян и мещан чаще указывает на место выхода, а не на личное качество. Фамилия Разбитскова — редкая, и её носители, скорее всего, происходят из южнорусских или центральных губерний, где были поселения с таким корнем.

В написании фамилии обращает на себя внимание сочетание «тск» — в живой речи оно часто упрощается до «цк», поэтому в документах могли фиксировать и вариант Разбицкова, но исходная форма сохранила архаичное написание.