Фамилия Рехметчиков — редкий случай, когда прозвище предка сохранило не только ремесло, но и язык, на котором оно звучало. В основе лежит тюркское слово «рехмет» (рахмет, рехмет) — «милость, благодать, спасибо». В татарском и башкирском языках «рәхмәт» означает и «спасибо», и «милость». Но прямой смысл фамилии не в благодарности, а в профессии: рехметчик — это человек, который собирал подаяние, милостыню (то есть «милость») для бедных или для церкви. В русской традиции таких людей называли «нищесборниками», но в среде татарского и башкирского купечества или духовенства за ними закрепилось именно это слово.

Суффикс -ов указывает на русскую модель образования фамилий по отчеству: «Рехметчиков» буквально значит «сын Рехметчика». То есть предок носителя фамилии сам был рехметчиком — либо сборщиком подаяния при мечети или медресе, либо человеком, ходившим по деревням с просьбами о помощи для общины. Вторая версия, менее вероятная, но возможная: «рехмет» могло быть личным прозвищем — так могли назвать человека, который часто произносил «рахмет» (спасибо) или считался «милостивым» по характеру. Но профессиональная основа кажется более надёжной: в тюркских языках суффикс -чи/-че как раз образует названия профессий (ср. «балыкчи» — рыбак, «игенче» — хлебороб).

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Приуралью — территориям, где веками жили татары и башкиры, а затем принимали православие и получали русские фамилии. Скорее всего, Рехметчиковы — крещёные татары или башкиры, чей предок носил прозвище Рехметчи, а при переходе в христианство или при переписи фамилию записали по русскому образцу. Встречается фамилия и у русских, но это результат межэтнических браков или миграции.

Написание с «е» в первом слоге (Рехметчиков) — фонетический вариант, характерный для говоров, где «а» после мягкого согласного переходит в «е». В документах может попадаться форма Рахметчиков — она ближе к литературному татарскому произношению. Оба варианта означают одно и то же.

Интересная деталь: в отличие от распространённых «профессиональных» фамилий вроде Кузнецов или Плотников, Рехметчиков сохранила не просто ремесло, а социальную роль, связанную с религиозной благотворительностью. Носитель такой фамилии может с большой вероятностью проследить свои корни до татарских или башкирских общин, где сбор милостыни был уважаемым, хотя и небогатым занятием.