Фамилия Ремейкайте — редкий случай, когда написание почти полностью совпадает с произношением, но обманчиво для этимолога. На первый взгляд она кажется искусственной или заимствованной, однако перед нами литовская фамилия, записанная по правилам русской графики XIX—XX веков.

Корень здесь — литовское слово remti (подпирать, поддерживать) или ramus (спокойный, тихий). Суффикс -айт- (лит. -aitis, -aitytė) — типичный литовский патронимический суффикс, указывающий на происхождение от отца. В буквальном смысле Ремейкайте — «сын (или дочь) Ремейкиса». Мужской вариант фамилии — Ремейкис, женский — Ремейкайте (в литовской традиции замужняя женщина носила бы форму Ремейкене или Ремейкайте, если незамужняя). Русская передача окончания -е вместо -ис или -ас — результат адаптации к местной канцелярской норме, когда литовские фамилии записывали «на слух», особенно в северо-западных губерниях Российской империи (Ковенская, Виленская, Сувалкская).

Прозвище Ремейкис могло означать «подпорка», «опора» — в переносном смысле так называли надёжного человека, на которого можно положиться, либо того, кто занимался плотницким делом (ставить подпорки, укреплять строения). Менее вероятная, но возможная версия — от ramus (тихий), то есть «спокойный, смирный». В литовской ономастике фамилии на -айтис относятся к древнему пласту, их много в исторической Жемайтии и Аукштайтии.

На территории современной России фамилия Ремейкайте встречается единично, чаще в Литве (в форме Remeikaitė, Remeikis). В русских документах она могла записываться с вариантами: Ремейкис, Ремейко, Ремейка. Сословно её носители — почти поголовно крестьяне или мещане, никакого дворянства за этим корнем не числится. Если вы встретили Ремейкайте в российских архивах, скорее всего, это потомок литовских переселенцев конца XIX — начала XX века, чья фамилия сохранила исконное литовское окончание, не переделанное на русский лад.