Фамилия Ремиженко звучит как типичная украинская фамилия, и это первое, что бросается в глаза. Суффикс -енко, распространённый на Левобережной и Слободской Украине, традиционно образовывал фамилии от имён, прозвищ или профессий отца. В данном случае основа — Ремиз или Ремиж, а не полное имя.

Корень фамилии восходит к слову «ремиз» (или «ремизить»). В русских говорах «ремиза» — это силок, ловушка для птиц, а «ремизить» означало хитрить, изворачиваться, а также — в карточной игре — недобирать взяток. Человек по прозвищу Ремиз или Ремига мог быть хитрым, изворотливым, или же заниматься ловлей птиц силами. Второе, менее вероятное значение — от слова «ремиз» в значении «лесная чаща, заросли», что могло указывать на место жительства в глухом лесу.

Модель образования проста: от прозвища Ремиз (или Ремига) с помощью украинского патронимического суффикса -енко получилось «Ремизенко», а затем — под влиянием южнорусского аканья или просто как вариант произношения — «Ремиженко». Чередование з/ж здесь такое же, как в парах «князь — княжич» или «возить — вожу».

Географически фамилия тяготеет к современным Сумской, Полтавской и Харьковской областям Украины, а также к прилегающим районам России (Белгородская, Курская области). В документах XVIII–XIX веков носители фамилии встречаются среди казацкой старшины и крестьян, что типично для фамилий на -енко: они не указывали на благородное происхождение, а просто обозначали потомка конкретного человека.

Встречается и вариант написания «Ремизенко» — он более прозрачен этимологически, но менее распространён. Если ваш предок писался через «ж», это могло быть местной особенностью произношения или результатом ошибки писаря, который записывал фамилию на слух.