Фамилия Робашевская — редкий пример, где географическая привязка оказывается едва ли не надёжнее, чем разбор корня. Судя по суффиксу -ск-, это типичная «географическая» фамилия, которую давали по названию места, откуда человек родом. В отличие от массовых -ов и -ин, такие фамилии чаще встречались у дворянства и духовенства, но могли закрепиться и за простыми крестьянами, переселившимися из конкретного села или поместья.

Основа Робаш- почти наверняка восходит к названию населённого пункта. В Польше, Беларуси и на западе Украины есть несколько мест с похожими названиями — Робашево, Робашов, Робаши. Если фамилия польского происхождения (а суффикс -евск-/-овск- в польском языке образует прилагательные от названий мест), то исходное село могло называться Robaszów или Robasze. В таком случае Робашевская — это «та, что из Робашева», то есть указание на родину или имение предка.

Менее вероятна, но возможна связь с прозвищем Робаш. В диалектах «роба» или «робя» — дитя, ребёнок (ср. «робёнок»), а «робаш» могло означать парня, мальчика, слугу. Однако для прозвищного происхождения фамилии ожидалась бы форма Робашев (с суффиксом -ев) — без -ск-. Наличие -ск- твёрдо указывает на топонимическую модель, поэтому версия с прозвищем слабее.

По сословной принадлежности: в XIX веке фамилии на -ский часто носили мещане и духовенство западных губерний Российской империи (Могилёвской, Витебской, Гродненской). Если ваши предки были из этих мест, фамилия могла закрепиться за священником или мелким шляхтичем, который получил её при поступлении в семинарию или при переезде в город. Массовых носителей фамилии в источниках не зафиксировано — это скорее локальная, единичная фамилия, что подтверждает её происхождение от конкретного хутора или усадьбы.

Коротко: Робашевская — «из Робашева». Где именно находилось это место, сегодня сказать трудно, но скорее всего на территории современной Беларуси или восточной Польши.