Фамилия Роземблюм — из числа тех, что прямо указывают на род занятий или место жительства предка, но с одной оговоркой: корень тут немецкий, а не славянский. Она образована сложением двух основ: Rose (роза) и Blum (цветок). Буквально — «розовый цветок». В немецкой ономастике такие составные фамилии нередко давали аптекарям, садовникам или владельцам трактиров с соответствующим названием. Человек по прозвищу Розенблюм мог содержать гостиницу «У розы» или выращивать декоративные растения на продажу.

В России фамилия закрепилась среди еврейского населения западных губерний, особенно на территориях современной Украины, Беларуси и Польши. После разделов Речи Посполитой в конце XVIII века еврейские общины обязали брать фамилии для податного учёта — и Роземблюм (наряду с Розенблюмом, Розенфельдом, Розенштейном) оказалась в числе самых частотных. Вариант с «е» в первом слоге (Роземблюм, а не Розенблюм) встречается реже и может указывать на местный диалектный выговор или описку при записи в метрических книгах.

Словообразовательно это чистая композита: два корня сращены без суффикса. Русская падежная система не меняет основу — склоняется как типичная мужская фамилия на твёрдый согласный (Роземблюма, Роземблюму). В женском варианте не склоняется вовсе, что характерно для заимствованных фамилий.

Споров о происхождении здесь немного. Версия, что фамилия могла быть искусственно придумана чиновником как «красивая» (по аналогии с Розенкранц — «розовый венок»), правдоподобна, но необязательна. Чаще её связывают с реальным ремеслом или вывеской. Если ваш предок носил эту фамилию в XIX веке в черте оседлости, он с высокой вероятностью был мещанином или купцом, а не крестьянином — среди крестьян немецкие составные фамилии встречались реже.

Единственная тонкость: в документах фамилию могли писать по-разному — Розенблюм, Розенблюмъ, Роземблюм. Это не разные фамилии, а орфографические колебания, характерные для дореволюционного делопроизводства.