Фамилия Рыбчинський звучит по-польски или по-западноукраински: суффикс -ський (польское -ski) указывает на шляхетское или, реже, крестьянское происхождение на землях Речи Посполитой. Если бы фамилия была великорусской, она оканчивалась бы на -ов или -ин (Рыбчин, Рыбчиков). Основа здесь — Рыбка, Рыбко или Рыбча, то есть уменьшительное от слова «рыба». В славянской ономастике прозвище Рыба давали либо рыбаку, либо человеку, который, как говорили, «молчит как рыба», либо тому, кто имел какие-то внешние черты, напоминающие рыбу (например, холодные руки или выпученные глаза).

Сам суффикс -инськ-/-иньск- встречается реже, чем обычный -овськ-: он образован от основы на -ин- (Рыбчин — это «сын Рыбки»). То есть Рыбчинський — это «тот, кто из рода Рыбчиных» или «владелец хутора Рыбчин». На картах Украины и Польши есть несколько сел с названием Рыбчин (например, в Волынской области или на Люблинщине). Поэтому у фамилии два равноправных источника: либо предок получил прозвище Рыбка, а его потомки, перейдя в шляхетское сословие, оформили фамилию с дворянским суффиксом, либо семья происходила из деревни Рыбчин и взяла фамилию по месту жительства.

В украинской традиции фамилии на -ський часто носили священники и казацкая старшина, но в Польше этот суффикс был массовым у мелкой шляхты. Поэтому Рыбчинський мог быть и крестьянином, и шляхтичем-однодворцем — точнее сказать без генеалогического поиска невозможно. Написание с мягким знаком (Рыбчинський, а не Рыбчинский) выдаёт украинскую или полонизированную среду: в русском языке на этом месте было бы твёрдое «ы» и окончание -ий.

Сравните с однокоренными фамилиями: Рыбалко, Рыбаков, Рыбчин — все они восходят к тому же прозвищу, но Рыбчинський стоит особняком благодаря географической привязке и сословному оттенку. Если ваши предки носили эту фамилию на Волыни, в Галичине или на Подляшье, скорее всего, они были либо рыбаками, получившими «благородный» суффикс при паспортизации в XIX веке, либо выходцами из села с похожим названием.