Фамилия Рюмик — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а звукоподражательное прозвище. Скорее всего, её дали человеку, который издавал характерные горловые звуки — «рюмил», то есть плакал, хныкал или, в более широком смысле, издавал жалобные, тягучие стоны. Глагол «рюмить» в русских говорах означал «плакать, реветь, выть», а «рюма» — это плакса, нытик. Суффикс -ик в данном случае указывает на лицо по действию или характерному признаку (сравните: крик — крикун, но здесь модель «рюма» → «рюмик» как «тот, кто рюмит»). Таким образом, Рюмик — это человек с плаксивым голосом или привычкой жаловаться.

Встречаются и другие версии, но они менее убедительны. Иногда фамилию связывают с диалектным словом «рюмка» (маленький стаканчик) — якобы прозвище любителя выпить. Однако словообразовательная цепочка здесь ломается: от «рюмка» естественнее было бы образовать Рюмкин или Рюмочкин, а не Рюмик. Суффикс -ик скорее работает с глагольными основами или с личными прозвищами на -а/-я. Поэтому версия с плачем выглядит первичной.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и украинским землям, где глагол «рюмить» был особенно употребителен. В современных базах она встречается редко, что говорит о её локальном происхождении — скорее всего, от одного прозвища в конкретной деревне или волости. В дворянские или купеческие роды Рюмики не попали: фамилия явно крестьянская, образованная на бытовом уровне, без книжного влияния.

С точки зрения ономастики, это пример «говорящей» фамилии, которая закрепилась за человеком по его поведению или голосу. Сословных привилегий у неё не было, зато сохранилась живая связь с русской диалектной лексикой. Если ваш предок носил эту фамилию, он мог быть из крестьян западных губерний, и прозвище ему дали, вероятно, за манеру говорить с надрывом или за частые слёзы.